Elementos básicos para a
construção de matrizes:
Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:
N={1,2,3,4,5,6,7,...}
O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a,b), onde a e b são números naturais, isto é:
N×N={(a,b): a e b são números naturais }
Uma relação importante em N×N é:
Smn={(i,j): 1<i<m, 1<j<n}
Definição de matriz:
Uma matriz real (ou complexa) é uma
função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn associa
um número real (ou complexo).
Uma forma comum e prática para
representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo
m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra
A.
a(1,1)
|
a(1,2)
|
...
|
a(1,n)
|
a(2,1)
|
a(2,2)
|
...
|
a(2,n)
|
...
|
...
|
...
|
...
|
a(m,1)
|
a(m,2)
|
...
|
a(m,n)
|
Definições básicas sobre matrizes
- Ordem: Se
a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.
- Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada
elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).
- Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus
elementos, na forma: A=[a(i,j)].
- Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da
forma a(i,j) onde i=j.
- Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de
colunas, i.e., m=n.
- A diagonal
secundária de
uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:
a(1,n), a(2,n-1),
a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)
- Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.
- Matriz real é
aquela que tem números reais como elementos.
- Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos.
- Matriz nula é
aquela que possui todos os elementos iguais a zero.
- Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a
1 e zero fora da diagonal principal.
- Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal
principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.
Matriz 4x4 de números reais:
12
|
-6
|
7
|
18
|
-23
|
-24
|
0
|
0
|
0
|
0
|
5
|
0
|
0
|
0
|
0
|
9
|
Matriz 4x4 de números complexos:
12
|
-6+i
|
7
|
i
|
-i
|
-24
|
0
|
0
|
0
|
0
|
5+i
|
5-i
|
0
|
0
|
0
|
9
|
Matriz nula com duas linhas e duas
colunas:
Matriz nula com três linhas e duas
colunas:
Matriz identidade com três linhas e
três colunas:
Matriz diagonal com quatro linhas e
quatro colunas:
23
|
0
|
0
|
0
|
0
|
-56
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
100
|
Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)],
de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são
iguais, isto é:
para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes
abaixo, isto é:
Soma de matrizes e suas propriedades
A soma (adição) de duas matrizes
A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)],
definida por:
para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exemplo: A soma das
matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.
Propriedades da soma de matrizes:
A1: Associativa: Para quaisquer
matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:
(A + B) + C = A + (B
+ C)
A2: Comutativa: Para quaisquer
matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:
A3: Elemento neutro: Existe uma
matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá
a própria matriz A, isto é:
A4: Elemento oposto: Para cada
matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas
fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:
Multiplicação de escalar por matriz e
suas propriedades:
Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma
matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra
matriz C=k.A, definida por:
para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exemplo: A multiplicação
do escalar -4 pela matriz A, definida por:
Propriedades da
multiplicação de escalar por matriz:
E1: Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação
do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é:
E2: Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação
do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:
E3: Distributividade das matrizes: Para quaisquer
matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:
E4: Distributividade dos escalares: Para qualquer
matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:
Multiplicação de matrizes:
Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n e
a matriz B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizes A e B como
uma outra matriz C=A.B, definida por:
c(u,v) = a(u,1)
b(1,v) + a(u,2) b(2,v) + ... + a(u,m) b(m,v)
para todo par (u,v) em Smr.
Para obter o elemento da 2a. linha e
3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:
- multiplicar
os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
- multiplicar
os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
- multiplicar
os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
- multiplicar
os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
- somar
os quatro produtos obtidos anteriormente.
Assim:
c23 =
a21 b13 + a22 b23 +
a23 b33 + a24 b43
Podemos visualizar esta operação
através das matrizes seguintes. Basta observar a linha em azul na primeira
matriz, a coluna em azul na segunda matriz e o elemento em azul na terceira
matriz.
a11
|
a12
|
a13
|
a14
|
a21
|
a22
|
a23
|
a24
|
a31
|
a32
|
a33
|
a34
|
a41
|
a42
|
a43
|
a44
|
|
×
|
b11
|
b12
|
b13
|
b14
|
b21
|
b22
|
b23
|
b24
|
b31
|
b32
|
b33
|
b34
|
b41
|
b42
|
b43
|
b44
|
|
=
|
c11
|
c12
|
c13
|
c14
|
c21
|
c22
|
c23
|
c24
|
c31
|
c32
|
c33
|
c34
|
c41
|
c42
|
c43
|
c44
|
|
Observação: Somente podemos
multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao
número de linhas da segunda.
Propriedades da multiplicação de
matrizes:
Para todas as matrizes A, B e C que
podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:
M1: Nem sempre vale a comutatividade: Em geral, A×B é
diferente de B×A, como é o caso do produto que segue, onde A está cor vermelha
e B em cor preta:
M2: Distributividade da soma à direita
M3: Distributividade da soma à esquerda
M4: Associatividade
M5: Nulidade do produto: Pode acontecer que o
produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0, embora nem A nem B
sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:
M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a
igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro que A=B, pois existem
exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:
mas as matrizes A e B são diferentes.
Matrizes com propriedades especiais:
- Uma
matriz A é nilpotente de
índice k natural, se:
- Uma
matriz A é periódica de
índice k natural, se:
- Uma
matriz A é idempotente,
se:
- As
matrizes A e B são comutativas, se:
- As
matrizes A e B são anti-comutativas, se:
- A
matriz identidade Id multiplicada
por toda matriz A, fornecerá a própria matriz A, quando o produto fizer
sentido.
- A
matriz A será a inversa da matriz B, se:
A transposta de uma matriz e suas
propriedades;
Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem
m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz
e segue que as linhas de A se
transformam nas colunas de At.
Propriedades das matrizes
transpostas
T1: A transposta da transposta da
matriz é a própria matriz.
T2: A transposta da multiplicação de um
escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta
da matriz.
T3: A transposta da soma de duas
matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.
T4: A transposta do produto de duas
matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada.
Matrizes simétricas e anti-simétricas e
suas propriedades:
Uma matriz A é simétrica se é uma matriz
quadrada tal que:
Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz
quadrada tal que:
Propriedades das
matrizes simétricas e anti-simétricas
S1: Se A é uma matriz simétrica de
ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica.
S2: Se A é uma matriz quadrada de ordem
n, então a matriz B=A+At é simétrica.
S3: Se A é uma matriz quadrada de ordem
n, então a matriz B=A-At é anti-simétrica.
S4: Se A é uma matriz quadrada de ordem
n, então A sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica S com
uma matriz anti-simétrica T, isto é, A=S+T, e neste caso:
S =(1/2)(A + At) e T
=(1/2)(A - At)